Question

8．關(guān)于x的方程ax+b=$\frac{c}{{x}^{2}}$（a，b∈R⁺，c∈R）有且僅有兩根x₁、x₂，若x₁＜0，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=（　�。�

• A． -3
• B． -2
• C． -$\sqrt{2c}$
• D． -$\sqrt{3}$c

Answer 1

分析 由題意可知函數(shù)f（x）=ax+b與函數(shù)g（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，作圖輔助，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2c}{{x}_{1}^{3}}=a}\\{a{x}_{1}+b=\frac{c}{{x}_{1}^{2}}}\\{a{x}_{2}+b=\frac{c}{{x}_{2}^{2}}}\end{array}\right.$；從而解得．

解答 解：∵關(guān)于x的方程ax+b=$\frac{c}{{x}^{2}}$（a，b∈R⁺，c∈R）有且僅有兩根x₁、x₂，
∴函數(shù)f（x）=ax+b與函數(shù)g（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
作其圖象大致如下，

故g′（x）=$\frac{-2c}{{x}^{3}}$，
從而由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2c}{{x}_{1}^{3}}=a}\\{a{x}_{1}+b=\frac{c}{{x}_{1}^{2}}}\\{a{x}_{2}+b=\frac{c}{{x}_{2}^{2}}}\end{array}\right.$；
故b=$\frac{3c}{{x}_{1}^{2}}$，
從而化簡(jiǎn)可得，
-2${x}_{2}^{3}$+3x₁•${x}_{2}^{2}$=${x}_{1}^{3}$；
即-2+3$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）³；
解得，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1（舍去）或$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=-2；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及多元高次方程組的求法，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．