Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象上，直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）設(shè)A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）若已知cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （I）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得φ，從而得到函數(shù)f（x）解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）當(dāng)x∈A，求得f（x）∈[1，2]，再根據(jù)A⊆B，可得 $\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，從而求得m的范圍．
（III）化簡(jiǎn)條件求得 cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα的值，再化簡(jiǎn)要求的式子，把這兩個(gè)值代入，可得要求式子的值．

解答 解：（I）由題意可得函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，求得ω=2．再把點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，2）代入函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
可得sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，故2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z．
再結(jié)合，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z．
（II）∵A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}={x|m-1≤f（x）≤m+1}，
而當(dāng)$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即f（x）∈[1，2]，
根據(jù)A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，∴1≤m≤2．
（III）∵cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=cosα+sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα=-$\frac{5}{18}$．
∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{\sqrt{2}•cosα（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α-\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α）+cosα}{cosα+sinα}$=$\frac{cosα（sin2α-cos2α+1）}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$•cosα（2sinαcosα+2sin²α）
=3sinαcosα（cosα+sinα）=3×（-$\frac{5}{18}$）×$\frac{2}{3}$=-$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)單調(diào)性、周期性、定義域和值域，三角恒等變換，集合間的不含關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．