Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（n，S_n）（n∈N•）在函數(shù)y=$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{x}{2}$的圖象上．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）點(diǎn)（n，S_n）（n∈N•）在函數(shù)y=$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{x}{2}$的圖象上，
可得S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）
=3n-2．對(duì)n=1也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+$\frac{3}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
即有前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4•{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．