Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（ax+b）e^x，g（x）=-x²+cx+d．若函數(shù)f（x）和g（x）的圖象都過點(diǎn)P（0，1），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=2x+1．
（I）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，1），從而解出a，b，c，d的值；
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，即可判斷其單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（ax+a+b）e^x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b=1}\\{f′（0）=a+b=2}\end{array}\right.$，
∴a=b=1，
g′（x）=-2x+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=d=1}\\{g′（0）=c=2}\end{array}\right.$
∴c=2，d=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）e^x-（-x²+2x+1）=（x+1）e^x+x²-2x-1，
∴h′（x）=（x+2）e^x+2x-2=（x+2）e^x+2x+4-6=（x+2）（e^x+2）-6≥2×3-6=0，
∴h（x）在[0，+∞）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題．