Question

8．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1）=（2n+1）•2ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2），∴數(shù)列$\{\frac{1}{_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，∴$\frac{1}{_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=$\frac{1}{n+1}$．
（2）c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1）=2ⁿ（2n+2-1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+2-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．