Question

4．對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是[-4，5]．

Answer 1

分析 θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），可得$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$（4ta{n}^{2}θ+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值．根據(jù)對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，可得|2x-1|≤$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）_{min}$，即可得出．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），∴$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$（4ta{n}^{2}θ+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）$≥$5+2\sqrt{4ta{n}^{2}θ×\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}$=9，當且僅當tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∵對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，
∴|2x-1|≤$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）_{min}$=9，
∴-9≤2x-1≤9，
解得-4≤x≤5．
∴實數(shù)x的取值范圍是[-4，5]．
故答案為：[-4，5]．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．