Question

11．在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4．設點P的軌跡為C，直線y=kx+1與曲線C交于A，B兩點．
（1）寫出曲線C的方程；
（2）是否存在k的值，使以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用橢圓的定義求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線好橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關系，由AB為直徑的圓過原點O，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此列式求得k的值．

解答 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為a=2的橢圓，
它的短半軸b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲線C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）直線y=kx+1代入曲線C，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=（2k）²-4×（k²+4）×（-3）=16（k²+3）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$．
由AB為直徑的圓過原點O，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-4{k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}$=0，得k=±$\frac{1}{2}$．滿足題意．

點評 本題考查了橢圓軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線關系的應用，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常用轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)關系解題，是壓軸題．