Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+

a+1

x

+3（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-5m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到；
（2）求導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，也為最小值，由條件可知，只要最小值不小于m²-5m，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，曲線y=f（x）=lnx+x+

2

x

+3，
y′=

1

x

+1-

2

x2

，y′|_x=2=

1

2

+1-

1

2

=1，f（2）=ln2+6，
則曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：y-ln2-6=x-2，
即y=x+ln2+4．
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+x+

2

x

+3（x＞0），
f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，
則x=1為f（x）的極小值點，也為最小值點，且f（1）最小，為6．
由于關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-5m恒成立，則有m²-5m≤6，
解得-1≤m≤6．
則實數(shù)m的取值范圍是[-1，6]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和求極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．