Question

18．定義取整函數(shù)[x]，它表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3等，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{2016}^{x}}{1{+2016}^{x}}$，x＞0，則函數(shù)g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域?yàn)閧-1，0}．

Answer 1

分析 令t（x）=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，判斷其奇偶性，并求得t（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{201{6}^{x}+1}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），然后分t（x）=0和t（x）≠0求解函數(shù)值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{201{6}^{x}}{1+201{6}^{x}}$，∴f（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{201{6}^{x}}{1+201{6}^{x}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，
令t（x）=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，則t（-x）=$\frac{201{6}^{-x}-1}{2（1+201{6}^{-x}）}=\frac{1-201{6}^{x}}{2（1+201{6}^{x}）}$=-t（x），
即t（x）為奇函數(shù)，又t（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{201{6}^{x}+1}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)t（x）=0時(shí)，[t（x）]+[t（-x）]=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=0；
當(dāng)t（x）≠0時(shí)，不妨設(shè)t（x）＞0，則[t（x）]=0，[t（-x）]=-1，
則[t（x）]+[t（-x）]=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=-1．
∴函數(shù)g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域?yàn)閧-1，0}．
故答案為：{-1，0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查邏輯思維能力和推理運(yùn)算能力，是中檔題．