Question

如圖，四面體A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．點E在BD上，且DE=

1

3

DB=2．
（Ⅰ）求證：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）將三角形BCD中的條件擺出來，不難發(fā)現(xiàn)三角分別為120°，30°，30°，最大邊長為6，利用余弦定理不難求出CE，BC，BE已知，再利用勾股定理求證EC⊥BC，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得結(jié)論；
（2）可先求出三角形CDE的面積，而A到面CDE的距離就是點A到BC的距離，由已知條件不難求出．

解答： 解：（Ⅰ）證明：△DCB中，CB=CD，∠DCB=120°
∴∠CDB=30°，可求得CD=2

3

，
在△CDE中，由余弦定理得EC=DE=2，
故∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，交線為BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）取BC中點H，連接HA，HE，由AB=AC得
AH⊥BC，于是AH⊥平面BCD，
∴AH⊥HE，AC=EC=2，HC=

3

，∴AH=1，
S_△CDE=

1

2

CD•CE•sin30°=

3

，
V_A-CDE=

1

3

×1×

3

=

3

3

，
∴三棱錐A-CDE的體積是

3

3

．

點評：空間位置關(guān)系的證明主要是利用轉(zhuǎn)化思想，實現(xiàn)平行間關(guān)系的轉(zhuǎn)化、垂直間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，或平行與垂直間關(guān)系的轉(zhuǎn)化；而三棱錐體積的計算問題主要是求高，一般是借助于題目中給的垂直關(guān)系，將所求的高置于一個三角形（尤其是直角三角形）中解決．