Question

14．已知P是等邊△ABC所在平面外一點，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，△ABC的邊長為1，求PC和平面ABC所成的角的大�。�

Answer 1

分析 畫出圖形，過P作底面ABC 的垂線，垂足為O，連接CO并延長交AB于E，說明∠PCO為所求，然后再通過求三角形PCO的邊長即可求出答案．

解答 解：過P作底面ABC 的垂線，垂足為O，連接CO并延長交AB于E，
因為P為邊長為1的正三角形ABC所在平面外一點且PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，
所以O(shè)是三角形ABC 的中心
且∠PCO就是PC與平面ABC所成的角，
∵CO=$\frac{2}{3}$CE=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
且PC=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCO=$\frac{CO}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠PCO=30°．
即PC與平面ABC所成的角為30°．

點評 本題考查三垂線定理，點、線、面間的距離，考查學(xué)生計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．