Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，可得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{π}{3}$．設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，可得∠ACB=$\frac{π}{6}$．由等邊三角形OAB，點(diǎn)C在AB外且∠ACB為定值，可得C的軌跡是兩段圓弧，∠ACB是AB所對(duì)的圓周角．因此：當(dāng)AC時(shí)是弧$\widehat{AB}$所在圓（上述圓弧）的直徑時(shí)，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值$|\overrightarrow{AC}|$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，
∴$1×1×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{π}{3}$．
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$．
∵向量$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴∠ACB=$\frac{π}{6}$．
由等邊三角形OAB，點(diǎn)C在AB外且∠ACB為定值，可得C的軌跡是兩段圓弧，∠ACB是AB所對(duì)的圓周角．
可知：當(dāng)AC時(shí)是弧$\widehat{AB}$所在圓（上述圓弧）的直徑時(shí)，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值$|\overrightarrow{AC}|$，
在△ABC中，由正弦定理可得：$AC=\frac{AB}{sin3{0}^{°}}$=2．
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值是2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的減法運(yùn)算及其幾何意義、圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．