Question

14．已知在△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且2cos²$\frac{C}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=1．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）求f（x）=4cosxcos（x-A）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，由于sinB≠0，可求tanA=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得其值域．

解答 解：（Ⅰ）∵2cos²$\frac{C}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=1．
⇒1+cosC+cosBcosA-$\sqrt{3}$sinBcosA=1，
⇒cosC+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒-cos（A+B）+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒-cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=4cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）=4cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．