Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≥|x|+1；
（Ⅱ）若f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=2時，分類討論，去掉絕對值，求得x的范圍，綜合可得結(jié)論．
（II）先求得f（x）≤1的解集，根據(jù)f（x）≤1在[0，1]上恒成立，根據(jù)解集端點與0、1的關(guān)系，求得a的范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=2時，不等式為|x-2|≥|x|+1，
當(dāng)x≤0時，不等式即2-x≥-x+1，即2≥1，所以解為x∈（-∞，0]；
當(dāng)0＜x≤2時，不等式即2-x≥x+1，即$x≤\frac{1}{2}$，所以解為$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$；
當(dāng)x＞2時，不等式即x-2≥x+1，解集為∅；
綜上可得，該不等式的解為（-∞，$\frac{1}{2}$]．
（II）因為f（x）≤1，即|x-a|≤1，解得a-1≤x≤a+1，
而f（x）≤1在[0，1]上恒成立，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0}\\{a+1≥1}\end{array}}\right.$，解得a∈[0，1]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．