Question

7．已知兩條直線l₁：y=m和l₂：y=$\frac{4}{m+1}$（m＞0），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象由左到右相交于點(diǎn)A，B，l₂ 與函數(shù)y=|log₂x|的圖象由左到右相交于點(diǎn)C，D，記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a，b，當(dāng)m變化時(shí)，$\frac{a}$的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)各點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x_A、x_B、x_C、x_D，依題意可求得x_A、x_B、x_C、x_D的值，利用a=|x_A-x_C|、b=|x_B-x_D|及基本不等式可求得當(dāng)m變化時(shí)$\frac{a}$的最小值．

解答 解：設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；
-log₂x_C=$\frac{4}{m+1}$，log₂x_D=$\frac{4}{m+1}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{4}{m+1}}$，x_D=${2}^{\frac{4}{m+1}}$．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴$\frac{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$=|$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{4}{m+1}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{4}{m+1}}}$|=2^m•${2}^{\frac{4}{m+1}}$=${2}^{m+\frac{4}{m+1}}$．
又m＞0，∴m+$\frac{4}{m+1}$=（m+1）+$\frac{4}{m+1}$-1≥2$\sqrt{（m+1）•\frac{4}{m+1}}$-1=3（當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取“=”），
∴$\frac{a}$≥2³=8，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解平行投影的概念，得到$\frac{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，考查分析與運(yùn)算能力，注意解題方法的積累，屬于難題．