Question

17．已知兩個無窮數(shù)列{a_n}，{b_n}分別滿足|a_n+1-a_n|=2，b${\;}_{n+1}^{2}$=4b${\;}_{n}^{2}$，且a₁=1，b₁=-1．
（1）若數(shù)列{a_n}，{b_n}都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足：存在唯一的正整數(shù)r（r∈N^*），使得c_r+1＜c_r，稱數(shù)列{c_n}為“夢r數(shù)列”；設數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，
①若數(shù)列{a_n}為“夢5數(shù)列”，求S_n；
②若{a_n}為“夢r₁數(shù)列”，{b_n}為“夢r₂數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，若存在，求m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-a_n=2，${b_2}=-2{b_1}，{b_{n+2}}=2{b_{n+1}}，n∈{N^*}$，判斷得出調(diào)查網(wǎng)，等比數(shù)列即可求解通項公式．
（2）①根據(jù)題目條件判斷：數(shù)列{a_n}必為1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從第6項開始為首項7，公差為2的等差數(shù)列，
求解S_n即可．
②運用數(shù)列{b_n}為“夢數(shù)列”且b₁=-1，綜合判斷數(shù)列{b_n}中有且只有兩個負項．
假設存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數(shù)，而{a_n}中各項均為奇數(shù)，即可得出；m必為偶數(shù)． 再運用不等式證明m≤6，求出數(shù)列即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}，{b_n}都為遞增數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=2，${b_2}=-2{b_1}，{b_{n+2}}=2{b_{n+1}}，n∈{N^*}$，
∴a_n=2n-1，${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-1，n=1\\{2^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$；                            
（2）①∵數(shù)列{a_n}滿足：存在唯一的正整數(shù)r=5，使得a_r+1＜a_r，且|a_n+1-a_n|=2，
∴數(shù)列{a_n}必為1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從第6項開始為首項7，公差為2的等差數(shù)列，
故${S_n}=\left\{\begin{array}{l}{n^2}，n≤5\\{n^2}-4n+20，n≥6\end{array}\right.$；                                   
②∵$b_{n+1}^2=4{b_n}^2$即b_n+1=±2b_n，
∴$|{b_n}|={2^{n-1}}$，
而數(shù)列{b_n}為“夢數(shù)列”且b₁=-1，
∴數(shù)列{b_n}中有且只有兩個負項．
假設存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數(shù)，而{a_n}中各項均為奇數(shù)，
∴m必為偶數(shù)．                                                
首先證明：m≤6．
若m＞7，數(shù)列{a_n}中${（{{S_{m+1}}}）_{max}}=1+3+…+（{2m+1}）={（m+1）^2}$，
而數(shù)列{b_n}中，b_m必然為正，否則${T_m}=-1+{b_2}+…+（{-{2^{m-1}}}）≤-1+{2^1}+…+{2^{m-2}}+（{-{2^{m-1}}}）=-3＜0$，顯然矛盾；（※）
∴${（{T_m}）_{min}}=-1+{2^1}+…+（{+{2^{m-3}}}）+（{-{2^{m-2}}}）+{2^{m-1}}={2^{m-1}}-3$，
設${c_m}={2^{m-1}}-{（m+1）^2}-3$，
易得${d_m}={c_{m+1}}-{c_m}={2^{m-1}}-2m-3$，
而${d_{m+1}}-{d_m}={2^{m-1}}-2＞0$，（m＞7），
∴{d_m}（m＞7）為增數(shù)列，且d₇＞0進而{c_m}（m＞7）為增數(shù)列，而c₈＞0，
∴（T_m）_min＞（S_m）_max，
即m≤6．                                                     
當m=6時，構造：{a_n}為1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}為-1，2，4，8，-16，32，64，…
此時r₁=2，r₂=4
所以m_max=6，對應的r₁=2，r₂=4．

點評 本題綜合考查了學生運用新定義，求解數(shù)列的問題，結合不等式，函數(shù)的思想求解，考查了分析問題，解決問題的能力，屬于難題．