Question

4．已知（t²-4）¹⁰=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+…a₂₀t²⁰
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₃+a₅+…a₁₉的值；
（3）求a₀+a₂+a₄+…a₂₀的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得a₂的值．
（2）令t=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₂₀ =3¹⁰，令t=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀ =3¹⁰，兩式相減除以2求得a₁+a₃+a₅+…a₁₉的值．
（3）由（2）求得a₀+a₂+a₄+…a₂₀ 的值．

解答 解：（1）由于（t²-4）¹⁰的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-4）^r•t^20-2r，令20-2r=2，求得r=9，
故a₂ =-4⁹•10．
（2）令t=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₂₀ =3¹⁰，令t=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀ =3¹⁰，
兩式相減除以2求得a₁+a₃+a₅+…a₁₉=0．
（3）由（2）求得a₀+a₂+a₄+…a₂₀ =3¹⁰．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．