Question

9．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x}&{x＞0}\\{{{log}_2}（1-x）}&{x≤0}\end{array}}\right.$，且對(duì)任意x∈R，x≠0，f（ax）＜f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜1．

Answer 1

分析 對(duì)參數(shù)a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，f（ax）=f（0）=0，顯然不成立，故a≠0；
當(dāng)a＞0時(shí)和a＜0時(shí)，對(duì)分段函數(shù)分別討論，得出a的范圍．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（ax）=f（0）=0，顯然不成立，故a≠0；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（ax）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}ax\\;x＞0}\\{lo{g}_{2}（1-ax）\\;x＜0}\end{array}\right.$，且f（ax）＜f（x）恒成立，
∴ax＜x，1-ax＜1-x恒成立，
∴0＜a＜1；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（ax）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-ax）\\;x＞0}\\{lo{g}_{2}ax\\;x＜0}\end{array}\right.$，
∴1-ax＜x，ax＜1-x恒成立，顯然不成立；
故答案為0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 考查了分段函數(shù)和恒成立問(wèn)題．理解恒成立的含義．