Question

9．設(shè)定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)解，且${x_0}∈（a，a+1）（a∈{{N}^*}）$，則a=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得f（x）-log2x為定值，設(shè)為t，代入可得t=4，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，化方程有解為函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-1xln2有零點(diǎn)，
易得F（1）＜0，F(xiàn)（2）＞0，由零點(diǎn)的判定可得答案．

解答 根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)解，
所以x₀是函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零點(diǎn)，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F(xiàn)（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函數(shù)F（x）的零點(diǎn)介于（1，2）之間，故a=1，
故答案為：1

點(diǎn)評 本題主要考察函數(shù)零點(diǎn)定理的判定，屬于中檔題．