Question

19．有下列命題：
（1）函數(shù)y=4cosx，x∈[-10π，10π]不是周期函數(shù)；
（2）函數(shù)y=lg（sinx+1）在區(qū)間[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=2，則BC邊長(zhǎng)的最小值為1；
（4）函數(shù)y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$的最小值為2$\sqrt{10}$-4．
其中正確命題的序號(hào)是（3）．

Answer 1

分析 由周期函數(shù)的概念判斷（1）；舉例說明（2）錯(cuò)誤；求解三角形說明（3）正確；由基本不等式求最值的條件判斷（4）錯(cuò)誤．

解答 解：對(duì)于（1），函數(shù)y=4cosx，x∈[-10π，10π]不是周期函數(shù)，正確，否則，若認(rèn)為2π是函數(shù)周期，則20π也是周期，與周期函數(shù)的概念不符；
對(duì)于（2），函數(shù)y=lg（sinx+1）在區(qū)間[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是單調(diào)遞增函數(shù)，錯(cuò)誤，當(dāng)x=$-\frac{π}{2}$時(shí)，sinx+1=0，原函數(shù)無意義；
對(duì)于（3），在△ABC中，∠A=60°，AB+AC=2，則BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°，
即BC²=（AB+AC）²-3AB•AC$≥（AB+AC）^{2}-3•（\frac{AB+AC}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（AB+AC）^{2}=\frac{1}{4}×4=1$，則BC邊長(zhǎng)的最小值為1，故（3）正確；
對(duì)于（4），函數(shù)y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$=$\frac{（2-sinx）^{2}-4（2-sinx）+10}{2-sinx}$=$（2-sinx）+\frac{10}{2-sinx}-4$$≥2\sqrt{10}-4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$2-sinx=\frac{10}{2-sinx}$，即$sinx=2±\sqrt{10}$時(shí)上式等號(hào)成立，而$sinx≠2±\sqrt{10}$，則函數(shù)y=$\frac{6+si{n}^{2}x}{2-sinx}$的最小值取不到2$\sqrt{10}$-4，故（4）錯(cuò)誤．
∴正確命題的序號(hào)是（3）．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了周期函數(shù)的概念，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了三角形的解法及利用基本不等式求最值，是中檔題．