Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為π．當f（α）=1時，求cos（$\frac{4}{3}$π-4α）的值．

Answer 1

分析 首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的周期確定函數(shù)的解析式，進一步利用函數(shù)的角的恒等變換求出函數(shù)的值．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}sin2ωx}{2}$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$
已知函數(shù)的最小正周期為π．
所以：$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
解得：ω=1．
所以：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
當f（α）=1時，
則：$sin（2α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
cos（$\frac{4}{3}$π-4α）=-cos（$\frac{π}{3}-4α$）
=-1+$2{sin}^{2}（\frac{π}{6}-2α）$
=-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的解析式的確定，利用函數(shù)的角的恒等變換求函數(shù)的值．主要考查學生的應用能力．