Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2}$，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）若a₂=2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}-1}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，是否存在正整數(shù)a，b，a≥1，b≥1，使T_n可以表示成aⁿ-b的形式，若存在，求出所有的數(shù)對(duì)（a，b），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=1，a₁=$\frac{1+{a}_{1}}{2}$，求解即可．
（2）利用遞推關(guān)系式得出2S_n=n+na_n①，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1②，得出化簡(jiǎn)得出a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{n-1}$，討論判斷即可．
（3）根據(jù)題意得出b_n=2^n-1，2ⁿ-1=aⁿ-b，判斷a=2，b=1，符合題意．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2}$，n∈N^*．
（1）n=1，a₁=$\frac{1+{a}_{1}}{2}$，
a₁=1，
（2）2S_n=n+na_n①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1②，
①-②得出：2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，
化簡(jiǎn)得出a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{n-1}$，
∴當(dāng)a_n=n時(shí)，a_n-a_n-1=1=常數(shù)，
數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_n=n，
當(dāng)a_n≠n時(shí)，a_n-a_n-1≠常數(shù)，
∴此時(shí)不是等差數(shù)列，
（3）∵a₁=1，a₂=2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}-1}$，
∴b_n=2^n-1，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2ⁿ-1，
正整數(shù)a，b，a＞1，b＞1
使T_n可以表示成a^b-2的形式，
即2ⁿ-1=aⁿ-b，
所以a=2，b=1，
（2，1）符合，其他不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的定義，性質(zhì)，遞推的思想，屬于難題，運(yùn)用的知識(shí)較多．