Question

15．在△ABC中，已知tanAtanB=$\frac{4}{3}$，
（1）求tanC的取值范圍；
（2）若△ABC邊AB上的高CD=2．求△ABC面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正切函數(shù)以及基本不等式化簡求解tanC的取值范圍．
（2）利用已知條件表示出三角形的面積，然后求解最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，已知tanAtanB=$\frac{4}{3}$，tanA＞0，tanB＞0
tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=3（tanA+tanB）≥$6\sqrt{tanAtanB}$=4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，取等號(hào)．
tanC的取值范圍：[4$\sqrt{3}，+∞$）．
（2）△ABC邊AB上的高CD=2．
可得三角錐的面積為：$\frac{1}{2}×AB×CD$=$\frac{1}{2}×（\frac{2}{tanA}+\frac{2}{tanB}）×2$
=$\frac{2（tanA+tanB）}{tanAtanB}$=$\frac{3（tanA+tanB）}{2}$≥$\frac{3×2\sqrt{tanAtanB}}{2}$=2$\sqrt{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，取等號(hào)．
三角形面積的最小值為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，基本不等式的應(yīng)用．