Question

4．已知點A在直線x+2y-1=0，點B在直線x+2y+3=0上，線段AB的中點為P（x₀，y₀），且滿足y₀＞x₀+2，則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k，由已知得B（2x₀-x₁，2y₀-y₁），由A，B分別在直線x+2y-1=0和x+2y+3=0上，得x₀=-$\frac{1}{1+2k}$，再由y₀＞x₀+2，得$\frac{5k+1}{2k+1}$＜0，由此能求出$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k，則y₀=kx₀，
∵AB中點為P（x₀，y₀），∴B（2x₀-x₁，2y₀-y₁）
∵A，B分別在直線x+2y-1=0和x+2y+3=0上，
∴x₁+2y₁-1=0，2x₀-x₁+2（2y₀-y₁）+3=0，
∴2x₀+4y₀+2=0即x₀+2y₀+1=0，
∵y₀=kx₀，
∴x₀+2kx₀+1=0即x₀=-$\frac{1}{1+2k}$，
又∵y₀＞x₀+2，代入得kx₀＞x₀+2，
即（k-1）x₀＞2，即（k-1）（-$\frac{1}{1+2k}$）＞2，
即$\frac{5k+1}{2k+1}$＜0
∴-$\frac{1}{2}$＜k＜-$\frac{1}{5}$．
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．

點評 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程和不等式性質(zhì)的合理運用．