Question

17．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，f（2）=3，且在（-∞，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+k，利用f（0）=1，f（2）=3，求出a，k，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，利用二次函數(shù)的圖象求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，則g（x）=x²+x-2令g（x）=0，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+k，
∵f（0）=1，f（2）=3，
∴$\frac{1}{4}$a+k=1，$\frac{9}{4}$a+k=3，
∴a=1，k=$\frac{3}{4}$
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）∵x∈[-1，1]，∴函數(shù)f（x）的值域[$\frac{3}{4}$，3]；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，則g（x）=x²+x-2
令g（x）=0，∴x=1或-2．
∴函數(shù)g（x）的零點(diǎn)是1或-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．