Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，則$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$的值為-$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 先判斷△ABC以C為直角的直角三角形，再根據(jù)向量的加減以及向量的數(shù)量積即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3
∴△ABC以C為直角的直角三角形，
∵$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{CA}}^{2}$=-$\frac{23}{3}$，
故答案為：-$\frac{23}{3}$．

點評 本題考查了向量的加減的幾何意義以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．