Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．

（1）求a₁，a₂，a₃的值；

（2）求證：數(shù)列{aⁿ+2ⁿ}是等比數(shù)列

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+＜．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閍₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2（a₂+5），

當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₂﹣3，

當(dāng)n=2時(shí)，2（a₁+a₂）=a₃﹣7，

所以聯(lián)立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．

（2）由，得，

兩式相減得，所以．

因?yàn)?sub>，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．

（3）a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，

所以a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ﹣2ⁿ．因?yàn)?sub>，所以，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，，兩邊同時(shí)相乘得，

所以．