Question

8．數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，${a_n}_{+1}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，\;（0≤{a_n}≤1）\\{a_n}-1，\;\;（{a_n}＞1）.\end{array}\right.$那么a₂₀₁₆=2，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通過計算數(shù)列的前幾項，可知數(shù)列{a_n}從第二項起，構(gòu)成以2為周期的周期數(shù)列，進而可知a₂₀₁₆=a₂=2，且數(shù)列{S_2n-1}是首項、公差均為3的等差數(shù)列，數(shù)列{S_2n}是首項為5、公差為3的等差數(shù)列，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：依題意，a₁=3，
a₂=a₁-1=2，
a₃=a₂-1=1，
a₄=2a₃=2，
…
∴數(shù)列{a_n}從第二項起，構(gòu)成以2為周期的周期數(shù)列，
∵2016=1+2×1007+1，
∴a₂₀₁₆=a₂=2，
又∵數(shù)列{S_2n-1}是首項、公差均為3的等差數(shù)列，
數(shù)列{S_2n}是首項為5、公差為3的等差數(shù)列，
∴當n為奇數(shù)時，S_n=3+3（$\frac{n+1}{2}$-1）=$\frac{3（n+1）}{2}$；
當n為偶數(shù)時，S_n=5+3（$\frac{n}{2}$-1）=$\frac{3n+4}{2}$；
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
故答案為：2，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，確定周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．