Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）+f（x+3）=0；當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且e≈2.72，則方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 確定f（x）的周期為3，函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y=$\frac{x}{6}$的圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（-x），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）的周期為3，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，
在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y=$\frac{x}{6}$的圖象，如圖所示

∴在[0，9]上，有3個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性，可得方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的個(gè)數(shù)為6，
還有f（0）=0，共7個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查單調(diào)性和極值，函數(shù)的奇偶、周期性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．