Question

15．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列結(jié)論正確序號(hào)有②④⑤
①若O為重心，則（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{CA}$．
②若I為內(nèi)心，則a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$
③若O為外心，則$\frac{\overrightarrow{OA}}{a}$+$\frac{\overrightarrow{OB}}$+$\frac{\overrightarrow{OC}}{c}$=$\overrightarrow{0}$．
④若H為垂心，則$\overrightarrow{HA}$•$\overrightarrow{HB}$=$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{HC}$=$\overrightarrow{HC}$•$\overrightarrow{HA}$；
⑤若O為外心，H為垂心，則$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 根據(jù)重心、外心、垂心的定義，兩非零向量垂直的充要條件，舉反例的方法，向量加法、減法的幾何意義，角平分線定理，合分比定理，向量加法的平行四邊形法則即可判斷每個(gè)結(jié)論的正誤，從而寫出結(jié)論正確的序號(hào)．

解答 解：①如圖，等腰△ABC，O是該三角形的重心；
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$-\overrightarrow{OC}$；
又$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=0；
顯然$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}≠0$；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
②如圖，△ABC，AD為BC邊上的角平分線，內(nèi)心為I；
$a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}$=$a\overrightarrow{IA}+b（\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}）$$+c（\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}）$
=$（a+b+c）\overrightarrow{IA}+b（\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}）$$+c（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}）$=$（a+b+c）\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}$$-（b+c）\overrightarrow{DA}$；
根據(jù)角平分線定理：$\frac{c}=\frac{|\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{DC}|}$，∴$b|\overrightarrow{DB}|=c|\overrightarrow{DC}|$；
∴$b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$；
∴$a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}$=$（a+b+c）\overrightarrow{IA}-（b+c）\overrightarrow{DA}$=$a\overrightarrow{IA}+（b+c）\overrightarrow{ID}$；
∵$\frac{|\overrightarrow{DC}|}=\frac{c}{|\overrightarrow{DB}|}=\frac{b+c}{a}=\frac{|\overrightarrow{IA}|}{|\overrightarrow{ID}|}$；
∴$（b+c）|\overrightarrow{ID}|=a|\overrightarrow{IA}|$；
∴$a\overrightarrow{IA}+（b+c）\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$；
∴$a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$；
∴該結(jié)論正確；
③如圖，設(shè)等腰直角三角形ABC，O為其外心；
則$\frac{\overrightarrow{OA}}{a}+\frac{\overrightarrow{OB}}=\overrightarrow{0}$，而顯然$\frac{\overrightarrow{OC}}{c}≠\overrightarrow{0}$；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
④如圖，△ABC，H為其垂心，則：
$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AH}•（\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HB}）=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}$；
同理可得$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{HC}$；
∴$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}•\overrightarrow{HA}$；
∴該結(jié)論正確；
⑤如圖，
$\overrightarrow{AH}⊥\overrightarrow{BC}，（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）⊥\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}）$$•\overrightarrow{BC}=0$，$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=0$；
兩式相減得$（\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{BC}=0$；
同理$（\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{AC}=0$；
若$\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}≠\overrightarrow{0}$，則該向量同時(shí)垂直于$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AC}$，顯然不可能；
∴$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$；
∴該結(jié)論正確；
所以結(jié)論正確的序號(hào)有：②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，兩非零向量垂直的充要條件，以及舉反例的方法說明結(jié)論不成立，角平分線定理，合分比定理．