Question

16．設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，…，n}，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合A_i，i=1，2，…，20，若|A_i∩A_j|≤2，1≤j＜i≤20，求n的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件|A_i∩A_j|≤2，1≤j＜i≤20，分別對(duì)集合元素進(jìn)行討論即可．

解答 解：設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有A_i中最多重復(fù)出現(xiàn)k次，則必有k≤4．
若不然，數(shù)m出現(xiàn)k次（k＞4），
則3k＞12在m出現(xiàn)的所有A_i中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合{1，a₁，a₂，m，b₁}，{1，a₃，a₄，m，b₂}，{1，a₅，a₆，m，b₃}，
其中a_i，∈A，1≤i≤6為滿足題意的集合．a(chǎn)_i必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以k≤4．
20個(gè)A_i中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以n≥16，
當(dāng)n=16時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．