Question

13．設(shè)函數(shù)y=f（x）由方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1確定，下列結(jié)論正確的是（1）（2）（4）．（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）
（1）f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）不等式f（x）=$\frac{3}{4}$x＜0的解集為R；
（3）方程f（x）+$\frac{3}{4}$x-3=0恒有兩解；
（4）f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且反函數(shù)f^-1（x）由方程$\frac{y•|y|}{16}$-$\frac{x•|x|}{9}$=1確定．

Answer 1

分析 由方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1，對(duì)x，y分類(lèi)討論，畫(huà)出其圖象，利用橢圓與雙曲線(xiàn)的性質(zhì)即可判斷出．

解答 解：方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1，
當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，化為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；當(dāng)x≥0，y＜0時(shí)，化為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，化為-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，化為-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．畫(huà)出圖象．
由圖象可知：（1）正確；
（2）∵$y=\frac{3}{4}x$為雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；及-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的漸近線(xiàn)，因此不等式f（x）-$\frac{3}{4}$x＜0的解集為R，正確；
（3）方程f（x）+$\frac{3}{4}$x-3=0恒有一解，因此不正確；
（4）由（1）可知f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且反函數(shù)f^-1（x）由方程$\frac{y•|y|}{16}$-$\frac{x•|x|}{9}$=1確定，正確．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程圖象及其性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．