Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}}&{x，x＞0}\end{array}\right.$，若對(duì)任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿(mǎn)足f（f（x））=2at²+at，則正實(shí)數(shù)a的最小值是（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由題意討論可得f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（lo{g}_{2}x），x＞1}\end{array}\right.$；從而可知f（f（x））＞1，即2at²+at＞1對(duì)任意t∈（1，+∞）恒成立，從而解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}}&{x，x＞0}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，
f（f（x））=$lo{g}_{2}{2}^{x}$=x；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，log₂x≤0；
故f（f（x））=${2}^{lo{g}_{2}x}$=x；
當(dāng)x＞1時(shí)，
f（f（x））=log₂（log₂x）；
故f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（lo{g}_{2}x），x＞1}\end{array}\right.$；
分析函數(shù)在各段上的取值范圍可知，
若對(duì)任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿(mǎn)足f（f（x））=2at²+at，
則f（f（x））＞1，
即2at²+at＞1，
又∵t∈（1，+∞），a＞0；
∴2a+a≥1即可，
即a≥$\frac{1}{3}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的化簡(jiǎn)及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．