Question

12．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個不共線的單位向量，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$與k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直，則實數(shù)k=1．

Answer 1

分析 設(shè)$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=θ∈（0，π）．由于$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$與k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直，可得（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，化為（k-1）（1-cosθ）=0，即可得出．

解答 解：設(shè)$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=θ∈（0，π）．
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$與k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直，
∴（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=k${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+（1-k）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=k-1+（1-k）cosθ=0，
∴（k-1）（1-cosθ）=0，
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個不共線的單位向量，
∴1-cosθ≠0，
∴k-1=0，解得k=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．