Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{mx}{x+1}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在其定義域內的單調性；
（Ⅱ）證明：${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}$＞e（其中e自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，從而得到函數(shù)的單調性；
（Ⅱ）問題轉化為證明ln（1+$\frac{1}{2014}$）-$\frac{1}{2015}$＞0即可，通過函數(shù)f（x）的單調性得到f（$\frac{1}{2014}$）＞f（0）即可證明．

解答 解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{m（x+1）-mx}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-m}{{{{（x+1）}^2}}}$，
所以當m≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在其定義域（-1，+∞）內單調遞增，
當m＞0時，x∈（-1，m-1）時，f'（x）＜0，x∈（m-1，+∞），f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-1，m-1）內單調遞減，在（m-1，+∞）內單調遞增．
（II）因為${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}＞e?ln（{1+\frac{1}{2014}}）＞\frac{1}{2015}?ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞0$，
故只需證明此不等式成立即可．
由（I）知，m=1時，$f（x）=ln（x+1）-\frac{x}{x+1}在（0，+∞）$為增函數(shù)，
即$f（{\frac{1}{2014}}）=ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞f（0）=0$．
故$ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞0$得證，
所以${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}＞e$．

點評 本題考查了導數(shù)的應用，考查不等式的證明問題，考查轉化思想，是一道中檔題．