Question

18．如圖，在多邊形P-ABCD中，△ABC是邊長為2的正三角形，BD=DC=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{5}$，PA=2$\sqrt{2}$，且PA⊥平面ABC．
（1）求證：PA∥平面BCD；
（2）求平面ADC與平面PBD的夾角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點E、AB的中點F，連結(jié)AE、ED、CF，通過已知條件及勾股定理可得AE⊥DE，利用PA⊥平面ABC即得結(jié)論
（2）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，通過向量知識可得平面ADC與平面PBD的夾角的余弦值即為平面ACD的法向量與平面PBD的法向量的夾角的余弦值，利用平方關(guān)系可得平面ADC與平面PBD的夾角的正弦值，進而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：取BC的中點E、AB的中點F，連結(jié)AE、ED、CF，
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴AB=BC=2，
∵BD=DC=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DE²+AE²=2+3=AD²，
∴AE⊥DE，
又DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DE，
∴PA∥平面BCD；
（2）解：以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖，
則A（0，0，0），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），C（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$2\sqrt{2}$），B（2，0，0），
則$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，$2\sqrt{2}$），
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{2}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取y=-1，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{3}$，-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{q}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{2}z=0}\\{-2x+2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{q}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），
記平面ADC與平面PBD的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3+1+\frac{3}{2}}×\sqrt{2+\frac{2}{3}+1}}$=$\frac{5}{11}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{29}}{11}$，
∴平面ADC與平面PBD的夾角的正切值為$\frac{\frac{2\sqrt{19}}{11}}{\frac{5}{11}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的判定定理，二面角的計算，數(shù)量積的運算，平方關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于難題．