Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx，若0＜x₁＜x₂，求證：$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜2x₂．

Answer 1

分析 運用分析法要證原不等式成立，即證ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，由于0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），求出導數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：要證$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即證lnx₂-lnx₁＞$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，
即證ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
由于0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$＞0，
則g（x）在（1，+∞）遞增，即有g(shù)（x）＞g（1）=0，
即有l(wèi)nx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），即有l(wèi)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
則$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，又0＜x₁＜x₂，可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜x₂＜2x₂
則原不等式得證．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法，以及構(gòu)造函數(shù)通過導數(shù)判斷單調(diào)性的方法，屬于中檔題．