Question

13．設函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）當a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求證：m+2n≥4．

Answer 1

分析 對第（Ⅰ）問，將a=2代入函數(shù)的解析式中，利用分段討論法解絕對值不等式即可；
對第（Ⅱ）問，先由已知解集{x|0≤x≤2}確定a值，再將“m+2n”改寫為“（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）”，展開后利用基本不等式可完成證明．

解答 解：（I）當a=2時，不等式f（x）≥4-|x-1|即為|x-2|≥4-|x-1|，
①當x≤1時，原不等式化為2-x≥4+（x-1），得x≤-$\frac{1}{2}$，
故x≤-$\frac{1}{2}$；
②當1＜x＜2時，原不等式化為2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③當x≥2時，原不等式化為x-2≥4-（x-1），得x≥$\frac{7}{2}$，
故x≥$\frac{7}{2}$．
綜合①、②、③知，原不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）證明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，從而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a=0}\\{1+a=2}\end{array}\right.$，得a=1，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a=1．
又m＞0，n＞0，
∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）
=2+（$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$）≥2+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=4，
當且僅當$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{2n}$即m=2n時，等號成立，
此時，聯(lián)立$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=1，得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=1}\end{array}\right.$時，m+2n=4，
故m+2n≥4，得證．

點評 1．已知不等式的解集求參數(shù)的值，求解的一般思路是：先將原不等式求解一遍，再把結(jié)果與已知解集對比即可獲得參數(shù)的值．
2．本題中，“1”的替換很關(guān)鍵，這是解決此類題型的一種常用技巧，應注意體會證明過程的巧妙性．