Question

17．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）
（I）設a₂=5，求a₄；
（Ⅱ）設a₂=t，若當且僅當n=5時S_n取得最大值，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）通過對2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）中令n=1，3，4，結合a₂=5計算即得結論；
（Ⅱ）通過2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）可得當n≥2時，有2S_n-1=（n-1）（a_n-1+4）（n∈N^*），兩者相減可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-4，進而有（n-1）a_n+1=na_n-4，兩者相減可得數列{a_n}為等差數列，計算即得結論．

解答 解：（I）∵2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*），a₂=5，
∴當n=1時，可得a₁=4；
當n=3時，2（a₁+a₂+a₃）=2（4+5+a₃）=3（a₃+4），即a₃=6；
當n=4時，可得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（4+5+6+a₄）=3（4+a₄），即a₄=7；
（Ⅱ）∵2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*），
∴當n≥2時，有2S_n-1=（n-1）（a_n-1+4）（n∈N^*），
兩式相減可得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+4，
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-4，
又∵（n-1）a_n+1=na_n-4，
兩式相減可得：（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=（2n-2）a_n（n≥2），
∴a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），即數列{a_n}為等差數列，
在2S_n=n（a_n+4）中令n=1可得a₁=4，
又a₂=t，∴數列{a_n}的公差為t-4，
∴a_n=（t-4）n+8-t，
當且僅當n=5時，S_n取得最大值，等價于a₅＞0且a₆＜0，
即t＞3，且t＜$\frac{16}{5}$，故t∈（3，$\frac{16}{5}$）．

點評 本題考查是一道關于數列的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．