Question

19．設(shè)A是拋物線y²=8x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線FA與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)B在x軸上方．如果|AB|=2|AF|，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（6，-4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)B（-1，t），A（m，n），則根據(jù)|AB|=2|AF|（點(diǎn)B在x軸上方），可得$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$（n＞0）或$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{FA}$（n＜0），分類討論，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：拋物線y²=8x，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-2，設(shè)B（-2，t），A（m，n），則
∵拋物線y²=8x，
∴F（2，0），
∵|AB|=2|AF|（點(diǎn)B在x軸上方），
∴$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$（n＞0）或$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{FA}$（n＜0），
當(dāng)$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$（n＞0）時(shí)，（m+2，n-t）=2（2-m，-n），
∴$\left\{\begin{array}{l}m+2=4-2m\\ n-t=-2n\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{2}{3}$，代入y²=8x可得n=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{FA}$（n＜0）時(shí)，（m+2，n-t）=2（m-2，n），
∴m=6，代入y²=8x可得n=-4$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（6，-4$\sqrt{3}$）．
故答案為：（$\frac{2}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（6，-4$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題