Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一焦點(diǎn)F在拋物線y²=4x的準(zhǔn)線上，且點(diǎn)M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過直線x=-2上一點(diǎn)P作橢圓E的切線，切點(diǎn)為Q，證明：PF⊥QF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線方程求出其準(zhǔn)線，確定焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出橢圓中的c，再根據(jù)M點(diǎn)在橢圓上，求出橢圓方程；
（2）設(shè)出PQ直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求出P、Q坐標(biāo)，然后證明平面向量的數(shù)量積為0，即表示PF⊥QF．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，則F（-1，0），c=1．…（2分）
又M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上，則$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2（{a}^{2}-1）}=1$，解得a²=2，…（4分）
故橢E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依題意可知切線PQ的斜率存在，設(shè)為k，PQ：y=kx+m，并代入方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0…（8分）
因△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．…（9分）
從而${x}_{1}=-\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{1}=\frac{m}{2{k}^{2}+1}$所以Q（-$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$）；…（10分）
又y₀=-2k+m，則P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{PF}$=（1，2k-m）$\overrightarrow{QF}$=（$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$-1，-$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$）．…（11分）
由于$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}$=$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$-1-$\frac{m（2k-m）}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{{m}^{2}}{2{k}^{2}+1}-1=0$，故PF⊥QF．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)與平面向量的知識(shí)結(jié)合考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高．