Question

7．已知拋物線y²=2px，過點(diǎn)m（1，0），且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，若|AB|=4，求p的值．

Answer 1

分析 用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程，再把它代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁+x₂ |=4，從而求得p的值．

解答 解：由題意可得直線AB的方程為y-0=1•（x-1），即x-y-1=0．
把AB的方程代入拋物線y²=2px，可得x²-（2+2p）x+1=0，
∴x₁+x₂=2+2p，x₁•x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（2+2p）}^{2}-4}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{{p}^{2}+2p}$=4．
∴p=$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．