Question

【題目】已知函數(shù) ． （I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（I） ，定義域?yàn)椋?，+∞）． ∵ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=1；
（Ⅱ）∵ ，
∵若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴f′（x）＜0有正數(shù)解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．
①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立．
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a為開(kāi)口向下的拋物線，ax2+2（a﹣1）x+a＜0總有x＞0的解；
③當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a開(kāi)口向上的拋物線，
即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．
因?yàn)閤1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有兩正根．
，解得 ．
綜合①②③知： ．
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)， ，即 ．
令 ，則有 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（法二）當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴ ，即n=1時(shí)命題成立．
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即 ．
∴n=k+1時(shí)， ．
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)， ，即 ．
令 ，則有 ，
則有 ，即n=k+1時(shí)命題也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立
【解析】（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得 ，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分 a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)， ，再構(gòu)造函數(shù)，令 ，有 ，從而 ，問(wèn)題可解決；（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1 ，成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， ，再去證明n=k+1時(shí)， 即可（需用好歸納假設(shè)）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．