Question

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．若存在x₀∈[1，3]滿足f（x）≤2x+1，求所有的實數(shù)a．

Answer 1

分析 若存在x₀∈[1，3]滿足f（x）≤2x+1，則存在x₀∈[1，3]滿足x|x-a|≤1，即函數(shù)y=x|x-a|在[1，3]上的最小值不大于1，分類討論滿足條件的a的取值范圍，可得答案．

解答 解：若存在x₀∈[1，3]滿足f（x）≤2x+1，
則存在x₀∈[1，3]滿足x|x-a|≤1，
即函數(shù)y=x|x-a|在[1，3]上的最小值不大于1，
當a≤1時，y=x|x-a|在[1，3]上可化為：y=x²-ax，
此時當a=1時，函數(shù)的最小值1-a≤1，即a≥0，
∴0≤a≤1，
當1＜a＜3時，函數(shù)y=x|x-a|在x=a時，取最小值0，滿足要求，
當a≥3時，函數(shù)y=x|x-a|在[1，3]上可化為：y=-x²+ax，
x=3時，函數(shù)的最小值3a-9≤1，即a≤$\frac{10}{3}$，
∴3≤a≤$\frac{10}{3}$，
綜上所述0≤a≤$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，存在性問題，函數(shù)的最值，難度中檔．