Question

14．已知圓C的圓心C在直線y=x+1上，且與x軸相切，被y軸截得的弦長為2$\sqrt{5}$．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點（-2，0）的直線l與圓C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心在直線y=x+1上，且與x軸相切，被y軸截得的弦長為2$\sqrt{5}$，建立方程組，即可求出a，b及r的值，從而確定出圓的方程．
（2）y=k（x+2），代入（x-2）²+（y-3）²=9，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{|b|=r}\\{b=a+1}\\{{a}^{2}+5={r}^{2}}\end{array}\right.$，∴a=2，b=r=3，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）²+（y-3）²=9；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程y=k（x+2），則
y=k（x+2），代入（x-2）²+（y-3）²=9，可得（1+k²）x²+（4k²-6k-4）x+4k²-12k+4=0，
根據(jù)韋達(dá)定理：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}-6k-4}{1+{k}^{2}}$；x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12k+4}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12k+4}{1+{k}^{2}}$+2k²•（-$\frac{4{k}^{2}-6k-4}{1+{k}^{2}}$）+4k²=4，
∴k（4k-3）=0．
∴k=$\frac{3}{4}$，k=0舍去．

點評 本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，考查學(xué)生的計算能力，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．