Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸為半徑的圓與直線2x-$\sqrt{2}$y+6=0相切，則橢圓C標準方程$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 利用直線與圓相切的性質可得：a，再利用$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：∵以原點O為圓心，橢圓C的長半軸為半徑的圓與直線2x-$\sqrt{2}$y+6=0相切，
∴$\frac{6}{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=a，解得a=$\sqrt{6}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²，
解得c=2，b²=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．