Question

2．已知方程${x^2}+\frac{x}{tanθ}-\frac{1}{sinθ}=0$有兩個(gè)不等實(shí)根a，b，則過(guò)點(diǎn)A（a，a²），B（b，b²）的直線與圓x²+y²=2的位置關(guān)系是相交．

Answer 1

分析 表示出直線AB解析式，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，比較d與r的大小即可做出判斷．

解答 解：由題設(shè)知，${k_{AB}}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a-b}=a+b$，
∴過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為：y-a²=（a+b）（x-a），即（a+b）x-y-ab=0，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離為$d=\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{{（a+b）}^2}+1}}}$，
又由題設(shè)知，$a+b=-\frac{1}{tanθ}，ab=-\frac{1}{sinθ}$，
∴$d=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{\sqrt{\frac{1}{{{{tan}^2}θ}}+1}}}=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{\sqrt{\frac{{{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}}}}=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}=1＜\sqrt{2}=r$，
故直線與圓相交．
故答案為：相交．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的兩點(diǎn)式方程，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．