Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）f（y），f（x）＞0，f（2）=9
（1）求f（0），f（1）；
（2）驗證函數(shù)f（x）=3^x是否滿足上述條件？說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，若$f（{m^2}）＞\frac{27}{f（2m）}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用特殊值求函數(shù)值，令x=y=0可解得f（0），令x=y=1可解得f（1）；
（2）直接用函數(shù)解析式驗證；
（3）運用函數(shù)的單調(diào)性和特殊函數(shù)值解不等式．

解答 解：（1）令x=y=0代入得，f（0）=f（0）•f（0），
由于f（x）＞0，所以f（0）＞0，則f（0）=1，
再令x=y=1得，f（2）=f（1）•f（1）=9，
所以，f（1）=3；
（2）函數(shù)f（x）=3^x滿足上述條件，理由如下：
f（x+y）=3^x+y=3^x•3^y=f（x）•f（y），
即f（x）=3^x滿足f（x+y）=f（x）•f（y）；
（3）根據(jù)題意，不等式可化為：f（m²）•f（2m）＞27，其中，
f（m²）•f（2m）=f（m²+2m），
27=3•f（2）=f（1）•f（2）=f（3），
所以，f（m²+2m）＞f（3），
再根據(jù)f（x）為R上的增函數(shù)，
所以m²+2m＞3，解得，m＜-3或m＞1，
即實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及函數(shù)值的確定，函數(shù)性質(zhì)的驗證，以及運用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．