Question

7．已知集合A={x|x²-x-6＜0}，集合B={x|x²+2x-8＞0}，集合C={x|x²-4ax+3a²＜0}，若C?（A∩B），試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，2]．

Answer 1

分析 先確定集合A，B得到A={x|-2＜x＜3}，B={x|x＜-4或x＞2}，再根據(jù)題意分類討論得出a的取值范圍．

解答 解：由已知得A={x|-2＜x＜3}，B={x|x＜-4或x＞2}，
所以，A∩B={x|2＜x＜3}，
C={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}，
①當(dāng)a＞0時(shí)，C={x|a＜x＜3a}，如右圖所示：
則C?（A∩B）等價(jià)為：$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，
解得，1≤a≤2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，C={x|3a＜x＜a}；
C是負(fù)半軸上的一個(gè)區(qū)間，而A∩B是正半軸上的一個(gè)區(qū)間，
因此C?（A∩B）是不可能的，故無解；
③當(dāng)a=0時(shí)，C=∅，此時(shí)C?（A∩B）是不可能的，也無解．
綜合以上討論得，a∈[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查了子集與交集的運(yùn)算，涉及一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．