【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與過點且與軸垂直的直線交于點，過點作，垂足分別為兩點，求證：.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

利用直線的斜率之積為,得到的關(guān)系式,再利用橢圓定義可得,,即可求出,得到橢圓的標準方程；

求得及焦點坐標,設(shè)直線,則，的中點為,設(shè),聯(lián)立消去,求出用k表示,分和兩種情況,分別證明即可.

根據(jù)題意，

設(shè)，所以，

所以,故，從而橢圓的標準方程為.

證明:設(shè)直線，則：,的中點為為，

聯(lián)立，消去整理得：

設(shè)，由韋達定理得：，解得：，

故有：， 又，

當(dāng)時，，，此時軸，

所以四邊形為矩形，所以，

所以.

當(dāng)時，因為,

所以直線，即：，

所以點到直線的距離， 而，

即知：，所以以為直徑的圓與直線相切，

因為四邊形為直角梯形，的中點為，

所以.

綜上可知,.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的方程為，是橢圓上的一點，且在第一象限內(nèi)，過且斜率等于-1的直線與橢圓交于另一點，點關(guān)于原點的對稱點為．

（1）證明：直線的斜率為定值；

（2）求面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；

若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題，為了了解強度（單位：分貝）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強度和聲音能量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

表中，

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強度關(guān)于聲音能量的回歸方程；

（2）當(dāng)聲音強度大于60分貝時屬于噪音，會產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是和，且.已知點的聲音能量等于聲音能量與之和.請根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷點是否受到噪聲污染的干擾，并說明理由.

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與軸的交點為，過點的直線與橢圓相交與兩點，連接點并延長，交軌跡于一點.求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的角為，是等邊三角形，點P到平面ABCD距離為．

（1）證明：；

（2）求二面角余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中， ，動點滿足：以為直徑的圓與軸相切.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設(shè)點的軌跡為曲線，直線過點且與交于兩點，當(dāng)與的面積之和取得最小值時，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列的各項均為整數(shù)，滿足：，且，其中．

（1）若，寫出所有滿足條件的數(shù)列；

（2）求的值；

（3）證明：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案